МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ИНСТИТУТОВ

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих исследованиях мы предло­жили подход к стратегическому управлению, основанный на параметрическом управле­нии, где устремление к достижению целевых устойчивых состояний и режимов функцио­нирования обеспечивается с помощью фор­мальных институтов [Обыденов А. К)., 2016; 2017].

Подход, рассматривающий институты как инструмент параметрического управле­ния, ставит задачу найти соответствующие способы математической формализации¹ ин­ститутов через их математическое представ­ление. Возникает задача формального отобра­жения множества институтов на множество их представлений. Предлагаемый нами спо­соб математического отображения институтов может содействовать математической форма­лизации институтов для целей параметриче­ского стратегического управления.

Все способы описания институтов делятся на явные и неявные. В первом случае описы­ваются формальные компоненты институтов, во втором - количественные и качественные экономические последствия применения ин­ститутов. Первые примеры явного описания институтов содержатся еще в трактатах Ге­родота (см., например: [Геродот, 1972]). Одна из современных попыток явной алгебраиче­ской формализации института предпринята В.    Тамбовцевым (2004).

Неявная форма описания института ха­рактерна для микроэкономического анализа. Пример такого описания разобран, например, в исследовании Д. Бромли [Bromley D. W., 1989, р. 111-115]. Аналитический микро­экономический подход мы использовали для определения последствий института саморегулирования [Крючкова П. В., Обыде­нов А.К)., 2003]. Возможен и теоретико-и­гровой способ описания институтов: инсти­туты приняты как фиксированные правила [Shubik М., 1982], представлены устойчи­выми стратегиями в повторяющихся играх [Schotter А., 1981]. Однако подобные подхо­ды не позволяют рассматривать институты в качестве параметров, управляющих состо­янием объекта (соотношением выигрышей в платежной матрице). Предлагаемый спо­соб как явного, так и неявного алгебраиче­ского представления институтов актуален в силу того, что отвечает требованиям па­раметрического подхода [Обыденов А.К)., 2016; 2017].

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ИНСТИТУТОВ. ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ

Начнем с неявного подхода, он предполагает представле­ние правил через последствия их применения в рамках ма­тричных игр. Рассмотрим случай симметричной игры 2x2:

Будем считать, что применение правила приводит к изме­нениям в распределении выигрышей в платежной матрице. Можно представитьнезависимыми         координатами алгебраического вектора в фазовом пространстве:

X будет определять состояние системы, а действие правила -возможный переход системы из одного состояния в другое. Представим правило в виде оператора R, действующего на X(R : X -fX), и тем самым перейдем к явному описанию правил.

Предположим, что в ряде случаев в рамках динамической задачи, в частности для анализа точек равновесий в чистых стратегиях, значение имеет соотношение элементов X. Поэтому достаточно представить R как перестановку компонентов алгебраического вектора X.

При X1 > X2 > X4 > X3 получаем чистую координационную игру с двумя равновесиями по Нэшу (проблема координации2) (X1 = X при X1 > X2 > X4 > X3).

При X2 > X1 > X4 > X3 возникает «дилемма заключенного» с одним равновесием по Нэшу, являющимся неоптимальным по Парето (проблема кооперации) (X2=X при X2 > X1 > X4 > X3).

При X1 > X2 > X3 > X4 имеем дело с игрой, где равновесие по Нэшу совпадает с равновесием по Парето (равновесие по Нэшу оптимально по Парето) (X2=X при X1 > X2 > X3 > х4).

Формально действие правила можно представить в виде:

где R - оператор перестановки.

Введем обозначение  тогда для рас­смотренных выше случаев имеем:

Матрица правила равна:

Перестановки могут быть представлены в виде непересекающихся циклов (в данном случае в виде элементарной транспозиции), отсюда 

Итак, правило R₁₃ переводит параметрически управля­емую систему из состояния X₁ в состояние X₃. Представле­нием правила является оператор перестановки, можно вос­пользоваться известными свойствами перестановок, которые автоматически распространяются на правила.

Матрицы перестановок ортогональны, образуют группу, обратная матрица равна транспонированной. Таким образом, правила образуют группу преобразований. Отсюда, в част­ности, вытекает обратное правило, отменяющее данное. Матрица представления обратного правила транспонирова­на по отношению к исходной. Правило, примененное такое количество раз, которое равно порядку группы, возвращает систему в начальное состояние.

Следует заметить, что выбранная нами форма алгебраи­ческого представления правила не позволяет установить вза­имно-однозначного соответствия между правилом и его пред­ставлением. Вообще говоря, каждое представление является вырожденным: ему соответствует множество (класс) правил.

Рассмотрим перестановку, которая характеризуется еди­ничным оператором E. Данной перестановке будет соот­ветствовать целый класс таких правил, действие которых на платежную матрицу в виде перестановок платежей будет оставлять неизменными соотношения между платежами.

Будем считать, что с точки зрения влияния на равновесия в игре, действие институтов которое оставляет неизменны­ми соотношения выигрышей и тем самым не имеет коорди­национных экономических последствий игровой ситуации, является чисто распределительным. С другой стороны, пе­рестановки, являющиеся представлениями правил, оставля­ют неизменной сумму выигрышей каждого игрока по всем возможным стратегиям. С экономической точки зрения ма­тематическое ожидание выигрыша (средневзвешенный вы­игрыш) остается неизменным для каждого участника. Такой средневзвешенный выигрыш равен одной четвертой от сум­мы выигрышей для любого участника, при условии что ве­роятности выбора участниками каждой из возможных стра­тегий в игре составляют 0,5. В этом смысле действие такого правила можно назвать координационным.

Определение. Действие правила называется координа­ционным по мере средневзвешенного выигрыша, если в ре­зультате его применения остается неизменной сумма выи­грышей каждого участника по всем возможным стратегиям.

Способы разделения последствий правил на коорди­национные и распределительные могут быть различными, их может быть несколько. В таком случае для выбора ка­кого-то конкретного способа деления требуется договорен­ность, конвенция. Представленное выше рассуждение пред­лагает один из способов такого разделения.

НЕПРЕРЫВНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Пусть существует некоторое мероприятие, которое мо­жет состояться при кооперативном поведении членов опре­деленной группы.

Тогда для вычисления ожидаемых выигрышей участни­ков, следующих кооперативной и некооперативной стратеги­ям соответственно, можно записать следующие соотношения:

где EU - ожидаемый выигрыш участников; К - коопера­тивная стратегия; n - доля участников, следующих кооперативной стратегии; X₁ выигрыши в исходной платежной матрице.

Средний (средневзвешенный) выигрыш участника со­ставляет:

Тогда, отталкиваясь от уравнения репликации в рамках эволюционной теории игр (это уравнение, по сути, отражено в первом равенстве соотношения (8)), кинетическое урав­нение относительно п как независимой переменной можно записать [Hofbauer J., Sigmund К., 2003; Smith J.M., 1982; GolmanR., Page S. E., 2010; Bierman Н. S., Fernandez L, 1998, p. 384-397]:

В качестве управляющих параметров введем: а = X1 - х2 и b = X3 - х4.

Тогда в рамках рассмотренной выше одновременной игры в чистых стратегиях имеем:

• при а > 0, b < 0 два равновесия по Нэшу (чистая коор­динационная игра, проблема координации);
• при а < 0, b < 0 одно равновесие по Нэшу, отличное от равновесия по Парето (дилемма заключенного, про­блема кооперации);
• при а > 0, b > 0 одно равновесие по Нэшу, совпадаю­щее с оптимальным по Парето.

А в рамках эволюционной игры из (8) получаем:

В качестве исходной ситуации до применения параме­трического управления рассмотрим случай а > 0, b < 0. Тог­да данное уравнение, разрешенное относительно, имеет три корня (0, b/(b - а), 1).

Если теперь уравнение

где Q - объем продукции, выпускаемый хозяйствующим  субъектом, которое описывает модель управления поведени­ем хозяйствующего субъекта в рамках сильной формы ги­потезы об ограниченной рациональности [Обыденов А. К)., 2017], нормировать на корни Q2 = 0,5 и Q3 = 1 вместо  корней Q2 = 1 и Q3 = 2

итогда   взамен этого уравнения (10) получаем:

А если в уравнение (9) положить a - 0,5; b = -0,5 то по­лучим уравнение, с точностью до обозначений идентичное уравнению (11):

На фазовой диаграмме получаем две устойчивые точки: n1 = 0, n3 = 1 и одну неустойчивую: n2 = 0,5.

Таким образом, разными путями мы получили иден­тичные уравнения с тождественными корнями. И в обоих случаях существует два устойчивых состояния, создающих возможности для параметрического управления. Мы знаем, что этому случаю (а > 0, b < 0) с непрерывными Q и n со­ответствует одновременная координационная игра в чистых стратегиях с двумя равновесиями по Нэшу. Данный пример иллюстрирует «народную теорему»: в чистых стратегиях одновременной игры строгим равновесиям по Нэшу в эво­люционной игре в рамках динамики репликации соответ­ствуют аттракторы (асимптотически устойчивые состояния) [CressmanR., 2003].

Для осуществления параметрического управления по от­ношению к (12) положим в (9) а = 1, b = 0 (одно равновесие по Нэшу, оптимальное по Парето) и получим кинетическое уравнение:

Имеем одно устойчивое состояние n = 1:

В рамках модели сильной формы гипотезы об ограни­ченной рациональности такому управлению соответствует ценовое регулирование [Обыденов А.Ю., 2017]. С точки зрения теории игр при a = 1; b = 0 мы           имеем одновременную

игру с одним равновесием по Нэшу в чистых стратегиях, ко­торое может быть оптимальным по Парето. Такому параме­трическому управлению соответствует правило (институт) с матрицей, указанной в уравнении (4).

Исходя из тождества уравнений (11) и (12), аналогично­сти уравнения после управления (13), заключаем, что раз­ные по постановке задачи приводят к идентичным описа­ниям, схожим способам управления и их результатам. Ранее уже отмечались сходства между кинетическим уравнением в рамках модели сильной формы ограниченной рациональ­ности (уравнение 11) и уравнением, полученным на базе эволюционной теории игр (уравнение 12). Сходства обуслов­лены наличием эффекта масштаба и пропорциональности выгоде изменения независимой переменной в обоих случа­ях. В модели сильной формы ограниченной рациональности роль теоретико-игровой средней выгоды играет нормальная прибыль, отнесенная к единице продукции. В обоих случаях имеет место множественность устойчивых состояний. Все эти сходства (см. таблицу) позволяют обобщить результаты проведенных исследований.

В общем случае речь может идти об эффекте координа­ции [Полтерович В.М., 1999, с. 8-9]. Например, чем боль­ше людей следуют какой-либо ментальной модели, норме, тем менее выгодным становится отклоняться от нормы и тем выше выгода каждого, придерживающегося данной модели поведения или нормы. Некоторые исследователи схожий эффект называют «эффектом стадности» [Dixit А. К., NalebuffB. J., 1991].

Таким образом, рассмотренная нелинейная динамика с тремя стационарными состояниями в целом характерна для проблемы координации, и такой динамике соответству­ют самые различные координационные задачи: например, эволюция правила направления дорожного движения [Кузь- минов Я. И., Бендукидзе К. А., Юдкевич М. М., 2006], модель эволюции правила QWERTY, динамика соседства белого и афроамериканского населения в американских городах [Dixit, Nalebuff, 1991]. Такое поведение характерно для ак­тивных (самоорганизующихся) бистабильных сред [Ло­скутов А.Ю., Михайлов А.С., 2007]. При этом наш подход может оказаться эффективным для решения проблем коор­динации в целом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Институты могут быть представлены в виде перестано­вок выигрышей экономических субъектов в рамках теорети­ко-игрового подхода. Такая алгебраическая формализация институтов помогает исследовать свойства институтов через их управляющее воздействие на экономическую ситуацию. В частности, можно будет более строго разграничить коор­динационный и распределительные аспекты функциониро­вания институтов, выявить в практике управления ситуации, когда набор установленных правил приводит к тождествен­ному преобразованию, а также объединить правила, произ­водящие одинаковое действие, в классы.

Использование формализма эволюционной теории игр позволяет перейти от одновременных дискретных игр к па­раметрическому управлению в рамках нелинейно-динамиче- ских моделей. Нелинейная динамика с тремя стационарными состояниями встречается в самых различных моделях. Пред­ложенный способ формализации институтов может быть использован для решения достаточно широкого круга задач, например для представления институтов в виде параметров, позволяющих стратегически управлять самоорганизаци­ей экономических субъектов, в частности путем изменения структуры устойчивых состояний в ситуациях с проблемой координации.