ПРИМЕНЕНИЕ СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И ТЕОРИИ КАТАСТРОФ

B XXI веке становится очевидным, что состо­яние глобальной экосистемы приближается к критическому уровню и это отражается на соци­ально-экономическом развитии общества. На со­временном этапе предметом изучения экономики и финансов должен стать анализ мира, для кото­рого характерно нестационарное поведение, со­циально-экономические и экологические кризисы, связанные с нелинейностью и многомерностью социально-экономических систем. Финансовая система как совокупность отношений и финансы как экономическая категория определяются эко­номической структурой общества и подвержены тем же явлениям неустойчивости [Белимов И. И., Геворкян С. Г., Коган Е. Л., 2011]. В этой ситуации для отдельного региона, государства и мировой экономической и финансовой системы в целом становятся особенно актуальными вопросы без­опасности и устойчивости, которую следует по­нимать как способность сохранять определенные закономерности движения ресурсов и параметры функционирования системы. В научном сообще­стве формируется понимание необходимости но­вых концепций, методологической и методической базы, приемов анализа и моделей динамического характера, отвечающих современным потребно­стям и позволяющих применять гибкие управ­ляющие воздействия в зависимости от стадий развития управляемой самоорганизующейся си­стемы [Бородин А. И., Новикова Н. И., 2013].

Одним из эффективных подходов к решению задачи прогнозирования поведения финансовой системы и финансов, анализу неустойчивости являются динамические модели, зарекомендо­вавшие себя в биологии и физике, а теория ка­тастроф - наука, сформировавшаяся на стыке топологии и математического анализа, анали­зирующая качественное поведение нелинейных динамических систем при изменении их параме­тров.

В работе [Бородин А. И., Ефимов Г А., 2013] было предложено рассмотреть, в каком направле­нии развивается жизнь на Земле в ракурсе физики и ее законов. Проведены работы по созданию ма­тематической теории циклического развития и те­ории катастроф [Габрин К. Э., Иванов А. Е., Матвийшина Е. М. и др., 2013 а, б]. Таким образом, был создан новый подход, основанный на физи­ко-математическом описании эволюции развития общества, который нашел свое отражение в рабо­те [Гараедаги Дж., 2010] и предложенной там тео­рии хаоса. На основе этих исследований для обо­значения диссипативных структур был предложен термин «синергетика» [Головко Е. В., 2013]. Та­ким образом было положено начало одноименной теории, сфера применения не ограничивается фи­зикой, ее стали широко использовать в других на­уках, в частности в экономике и финансах. В на­стоящее время этот междисциплинарный подход используется все шире [Гусев Е. В., Иванов А. Е., 2010] в стратегическом планировании, поиске пу­тей решения глобальных финансовых проблем, вставших перед человечеством.

Для проведения анализа нами выбрана мето­дология синергетики, которая основана на теории самоорганизации, самодезорганизации и само­управления сложных систем. Опираясь на глав­ные положения синергетики при исследовании процессов в экономике и финансах, необходимо исследовать динамику экономических и финан­совых показателей, акцентируя внимание на про­цессах роста, развития и разрушения систем, процессах самоорганизации и их взаимосвязи с процессами развития систем. Нужно изучать совокупность внутренних и внешних связей си­стем и внутренней и внешней среды как источ­ников изменения параметров и возникновения нестабильности. При этом следует учитывать, что хаос играет важную роль в процессе разви­тия систем и роль эта не только деструктивная. В одной из классических работ прошлого века было показано, что социально-экономическое развитие не может быть монотонно-возрастающим [Гусев С. А., 2012]. Рано или поздно насту­пают кризисные периоды в развитии экономики, финансов и общества. Пока вопрос о причинах их появления остается открытым и дискуссион­ным. Возможно, если будет понятен механизм, который запускает эти явления, то удастся и по­нять, как можно этого избегать.

Современный этап в развитии России харак­теризуется усилением несбалансированности экономики и неравномерностью социально-эко­номического развития. В результате возникает угроза дезинтеграции и формируются кризисы как на национальном, так и на региональном уров­не. Экономические кризисы вызывают серьезные изменения в движении различных ресурсов, в том числе финансовых, негативно отражаются на со­циально-экономической ситуации. Так, в резуль­тате финансового кризиса валовой внутренний продукт (ВВП) России только за 2009 год сокра­тился на 7,8%. По оценкам экспертов, к началу 2014 года модель роста экономики России исчер­пала свои возможности, это подтверждается ро­стом ВВП в 2013 году всего на 1,3%.

Нестабильность и непредсказуемость разви­тия кризисных ситуаций свидетельствуют о необ­ходимости совершенствования модели экономики России и методов управления ею. Перспектив­ным направлением исследования экономических процессов является теория катастроф, которая представляет собой теоретико-методологиче­скую основу изучения и прогнозирования не­устойчивости различных систем [Зенченко С. В., Егоркин Е. А., 2014; Иванов А. Е., 2013]. Ее суть заключается в том, что в процессе развития систе­ма сохраняет минимальный запас противоречий и изменений, будучи подвержена воздействию различного рода флуктуаций, в том числе случай­ных, но в определенный момент (период) скачко­образно меняет свое качество, переходя на новую траекторию развития (аттрактор развития). Некая условная точка, в которой происходит изменение качества, называется точкой бифуркации (или ка­тастрофы), а сам процесс устойчивости по своим проявлениям носит катастрофический характер, может приводить как к переходу на какую-либо ветвь развития из многих возможных, так и к ги­бели или разрушению системы. На практике прогнозирование утраты устойчивости и смены качества социально-экономической системы с по­мощью теории катастроф осуществляют различ­ными методами [Иванов А. Е., 2011; Иванов А. Е., Макаренкова А. В., 2012]. К их числу относится метод построения модели катастрофы в экономи­ческой системе на основе данных о взаимосвязи переменных, характеризующих ее поведение.

Социально-экономическая система - много­ступенчатая, состоящая из нескольких уровней система. Любая неопределенность, случайная вероятность в начальных параметрах при пони­женных уровнях приводит к неопределенностям и случайностям в начальных параметрах подси­стем более значимого порядка и системы в целом. По данным признакам можно сказать, что систе­ма содержит катастрофу. О наличии катастрофы свидетельствуют критические точки семейства потенциальных функций, которыми описывается система. К числу основных признаков катастроф, или «флагов катастроф», относятся:

• модальность - это некое свойство систе­мы, характеризующееся тем, что при некотором значении управляющих параметров возможно несколько положений равновесия системы в не­которой области изменения управляющих пара­метров;
• недостижимость - одно из положений равновесия в системе, которое не достигается и не наблюдается (существует область недости­жимых неустойчивых состояний равновесия, к которым нельзя прийти, выходя из каких-либо устойчивых состояний);
• катастрофические скачки - неравномерный переход системы из одного положения равно­весия в другое (малые изменения в значениях управляющих параметров могут вызвать большие изменения в значениях переменных состояния системы по мере того, как система перескакивает из одного локального минимума в другой);
• расходимость - небольшое изменение пути в пространстве параметров, которое приводит к существенно отличному конечному состоянию системы (малые изменения заданных начальных значений переменных состояния могут привести к серьезным изменениям конечных значений этих переменных);
• гистерезис - некий переход системы из од­ного состояния в другое и обратно при разных значениях управляющих параметров (траектория системы при изменении параметров в точности противоположным образом отличается от исход­ной) [Иванов А. Е., 2012; Иванова Д. В., 2013; Ми­халев О. В., 2011].

Если в ходе анализа системы зафиксирован один из признаков катастрофы, то, изменяя ее управляющие параметры, можно обнаружить и остальные [Неделько Н. С., 2010; Соколова С. А., 2014]. Применительно к моделированию соци­ально-экономических систем и их подсистем не­обходимо учитывать следующие предположения:

• состояние системы изменяется во времени (динамическая система предполагает динамиче­скую модель);
• принцип максимального промедления: система стремится сохранять свое состояние как можно дольше, исследователю необходимо дополнительно промоделировать или оценить иными методами возможную длительность этого состояния до точки бифуркации;
• текущее состояние системы зависит от того, каким образом система пришла в это состояние; необходимо проводить исследование факторов предшествующих периодов для оценки настоя­щего;
• при изменении управляющих параметров системы в строго противоположном направлении система не вернется в первоначальное состояние; поскольку она является нелинейной и многомер­ной, траектории системы необратимы.

В экономических приложениях чаще всего рассматриваются катастрофы, динамика которых задается уравнением:

где V (x, α) - потенциальная функция; x - век­тор фазовых координат системы вида; α - век­тор параметров [Al-shanini A., AhmadA., Khan F., 2014; Cai M., Zou, T., Luo P. Et al., 2014].

Исследование заключается в задаче измене­ний состояния равновесия потенциальной функ­ции при изменении управляющих параметров. Поверхность катастрофы в этом случае опреде­ляется как множество точек равновесия (поверх­ность равновесия) и задается соотношением

где Rⁿ, R^k - п- и k-мерное евклидово простран­ство.

Критические точки для выполнения условия   = 0 называются неизолирован­ными, вырожденными или неморсовскими. Точки (x, α) в пространстве переменных со­стояния и параметров функции, для которых  являются множеством сингулярности, то есть

Проекция множества сингулярности на пара­метрическое пространство есть бифуркационное множество:

Если потенциальная функция зависит от не­скольких управляющих параметров, то матри­ца устойчивости V_xx и ее собственные значения также зависят от этих параметров. В этом случае можно говорить, что при определенных значени­ях управляющих параметров одно или несколько собственных значений матрицы устойчивости могут оказаться нулевыми. Тогда представление потенциальной функции в виде квадратичной формы является невозможным. Однако можно найти некоторое расщепление, позволяющее вы­делить координаты, которые отвечают нулевым собственным значениям:

где Cat (l,k) - функция катастрофы; l - коли­чество нулевых собственных значений матрицы устойчивости, или, при некоторых дополнитель­ных условиях, 

где; Cat(l,k) = CG(l) + Pert(l, k); CG (l, k) - ро­сток катастрофы; Pert(l, k) - возмущение.

Классификация потенциальных функций (катастроф), их основные свойства и характери­стики поведения представлены в табл. 1. При­веденные модели катастроф были использованы для анализа и прогнозирования развития ос­новных макроэкономических индикаторов эко­номики России (валовой внутренний продукт, инвестиции, объем промышленного производ­ства, уровень занятости, расходы на конечное потребление). В качестве исходных данных рас­сматривались временные ряды этих показателей с 1991 по 2010 год.

Предложенный алгоритм построения моделей катастроф динамики макроэкономических пока­зателей включает:

• идентификацию системы взаимовлияния макроэкономических показателей для различных временных горизонтов;
• оценку и анализ характера и типа катастро­фы идентифицированных систем;
• построение и анализ наиболее вероятных поверхностей катастроф.

В соответствии с алгоритмом для иссле­дуемых показателей построен комплекс моде­лей капсоидных катастроф (складка, сборка, ласточкин хвост, бабочка, вигвам), связанных с неустойчивостью связи одной переменной x со всеми другими и омбилических катастроф (эллиптическая, гиперболическая, параболи­ческая омбилики) - с неустойчивостью связи переменных темпа прироста инвестиций X₁, тем­па прироста промышленного производства X₂ со всеми другими.

Среди исследуемых экономических процес­сов значительный интерес представляет анализ инвестиционной и промышленной активности российской экономики для периода продолжи­тельного социально-экономического кризиса с 1991 по 2000 год, который позволил устано­вить характеристики синхронности их про­текания. Адекватной моделью капсоидной катастрофы является «вигвам» (коэффициент детерминации d = 0,76). Эта модель, аппрокси­мирующая взаимосвязь темпа прироста инве­стиций X и темпа прироста ВВП у, имеет вид:

Вигвам. На рис. 1 изображена поверхность катастрофы «вигвам». Система уравнений опи­сывает бифуркационное множество катастрофы:

7x⁶ - 18,736x⁴ - 1,272x3 + 10,461x² - 0,7x - 1,552 = 0. 42x⁵ - 74,92x3 - 3,816x² + 20,92x - 0,71 = 0

Графически бифуркационное множество в проекции трехмерного пространства представ­лено на рис. 2.

Анализ системы уравнений позволяет сделать следующие выводы:

• обращение системы в ноль при наблюдае­мых значениях переменных свидетельствует о на­ступлении катастрофы;
• чем ближе к нулю значение системы уравнений, тем ближе находится система к ус­ловиям катастрофического скачка. Для полу­ченной модели увеличение катастрофических пе­реходов (точек бифуркации) наиболее характерно для 1996 - 1999 годов.

Параболическая омбилика. Моделью омби­лической катастрофы для этого периода является параболическая омбилика (коэффициент детер­минации d = 0,656), аппроксимирующая взаимо­связь темпа прироста инвестиций X₁, темпа при­роста промышленного производства X₂ и темпа прироста ВВП у:

Поверхность данной модели катастрофы представлена на рис. 3. Система уравнений би­фуркационного множества катастрофы имеет вид

Графически бифуркационное множество ката­строфы типа «параболическая омбилика» в трех­мерном пространстве представлено на рис. 4.

Для полученной модели приближение реше­ний системы уравнений к нулю наиболее харак­терно для 1994, 1995, 1999 и 2000 годов, что сви­детельствует о движении системы к условиям катастрофического скачка.

Параболическая омбилика. Для перио­да экономического роста экономики России в качестве модели омбилических катастроф, построенной на основе квартальных данных (2001 - 2007 годы), является параболическая ом- билика (коэффициент детерминации d = 0,7). С помощью этой эконометрической модели осу­ществляется взаимосвязь темпа прироста заня­тости х₃, темпа прироста расходов на конечное потребление X₄ и темпа прироста ВВП у. Модель имеет вид

Поверхность модели катастрофы представле­на на рис. 5. Система уравнений, описывающая бифуркационное множество катастрофы, имеет вид

Анализ этой модели показал, что траектория поведения экономической системы удаляется от точек возможных катастрофических перехо­дов и не попадает в бифуркационное множество, то есть в рассматриваемом временном промежут­ке динамику развития исследуемых показателей можно считать сравнительно устойчивой.

Бабочка. Современный этап развития россий­ской экономики характеризуется асинхронностью протекания процессов промышленной активности, занятости населения и инвестиций в основной капитал и, следовательно, увеличением неустой­чивости и нелинейности их взаимосвязи, высокой вероятностью катастроф. Модель капсоидных ка­тастроф для периода мирового финансово-эконо­мического кризиса (2008-2010 годы) типа «бабоч­ка» (коэффициент детерминации d = 0,65) (рис. 6), аппроксимирующая взаимосвязь темпа прироста инвестиций X₁ и темпа прироста ВВП у, приведена ниже:

Система уравнений бифуркационного множе­ства катастрофы имеет вид

Графически бифуркационное множество ката­строфы типа «бабочка» в проекции трехмерного пространства представлено на рис. 7. По резуль­татам данной модели, наибольшее приближение значений переменных в системе уравнений к ус­ловиям катастрофического скачка и увеличение количества точек бифуркаций характерны для IV квартала 2009 года.

Параболическая омбилика. Модель омбили­ческой катастрофы для периода мирового финан­сово-экономического кризиса (2008 - 2010 годы) типа «параболическая омбилика» (коэффициент детерминации d = 0,7), аппроксимирующая взаи­мосвязь темпа прироста занятости X₃, темпа при­роста валового накопления в основной капитал X₅ и темпа прироста ВВП у:

Поверхность модели катастроф для периода мирового финансово-экономического кризиса представлена на рис. 8. Система уравнений имеет вид:

По результатам данной модели, наибольшее приближение к нулю решений системы уравне­ний и вероятных катастрофических переходов ха­рактерны для IV квартала 2008 года и IV квартала 2010 года, что хорошо согласуется с динамикой падения темпов роста анализируемых показателей.

Заключение

Таким образом, построенный комплекс моде­лей является эффективным инструментом иссле­дования и предупреждения кризисных процес­сов, так как позволяет выявить и более детально исследовать нелинейность в динамике развития как экономики в целом, так и отдельных ее ин­дикаторов. Это открывает новые возможности для формирования превентивных стратегических мероприятий на всех уровнях иерархии социаль­но-экономической системы.